Родился 16 сентября 1964 года в городе Красный Луч в семье педагогов. После окончания средней школы был призван в ряды Советской армии. Проходил службу снайпером в 860-м отдельном мотострелковом полку 40-й армии в Афганистане (Файзабад, провинция Бадахшан). Награждён медалью ДРА «За отвагу».
После демобилизации работал преподавателем начальной военной подготовки, художником, менеджером. С 2002 года — журналист.
С 1992 года пишет прозу. С 1995 года публикуется в журналах, «Подъём», «Звезда», сборнике «Мы из ArtOfWar».
Журналистская и общественная деятельность Боброва приводят его к политической публицистике. В 2005 году в соавторстве с К. В. Деревянко и Н. А. Грековым выпускает книгу «Тарас Шевченко — крестный отец украинского национализма».
За рассказ «Чужие Фермопилы» получил премию журнала «Звезда» (Санкт-Петербург) «Дебют-2005».
В 2007 году издательство «Эксмо» выпустило книгу «Солдатская сага», куда вошла вся «афганская» проза автора.
В 2008 году издательством Яуза-ЭКСМО был опубликован роман-антиутопия «Эпоха мертворождённых», посвящённый гипотетической гражданской войне на Украине. Роман довольно быстро приобрел статус культового, вызвал определённый резонанс и по состоянию на 2020 год выдержал восемь переизданий. С началом политического кризиса на Украине о романе вновь заговорили, как о пророческом. Позиция самого автора наиболее полно была изложена в интервью журналистам «Комсомольской правды» и РИА «Новости».
В 2012 году в соавторстве с Константином Деревянко выпускает книгу «Украинка против Украины», первая в истории научно-публицистическая монография, в которой с критических позиций дана мировоззренческая оценка творческого наследия Леси Украинки.
Летом 2014 года издательство «Яуза» (Москва) сборником «Снайпер в Афгане. Порванные души» переиздало автобиографическую «афганскую» прозу Боброва, дополнив её большим массивом авторского фотоматериала. В августе 2018 издательский дом «Питер» еще два раза переиздал армейский цикл автора. «Афганская проза Глеба Боброва представляет собой редкий, а возможно, и единственный случай в современной русской литературе низовой, именно солдатской рефлексии на тему войны. Глебу удалось написать настоящую солдатскую энциклопедию Афганской войны — исчерпывающе описать и жизнь солдата и вообще весь «солдатский космос». Пытались многие, а получилось только у него», — пишет в аннотации книги Дмитрий Пучков.
В сентябре 2015 в Луганске ограниченным тиражом в 1 тыс. экз. вышел сборник документальных очерков о гражданской войне в Донбассе «Луганское направление». Весь тираж направлен в учебные заведения Луганской Народной Республики, а также в библиотеки ЛНР, ДНР, Москвы и Санкт Петербурга. Кроме того, сборник размещен в свободном доступе в сети Интернет.
По состоянию на весну 2020-го возглавляемый Бобровым Союз писателей Луганской Народной Республики издал четыре заметных литературных сборника посвященных нынешней гражданской войне на Украине. Первый — «Я дрался в Новороссии!» был издан совместно с московским издательством «Яуза», второй — «Время Донбасса» — с министерством информации, печати и массовых коммуникаций ЛНР. Сборник «Время Донбасса» был высоко отмечен критиками и литературоведами за высокий уровень литературного качества представленных в нём произведений. Третий сборник «Выбор Донбасса» издан в 2017 году при содействии писателя, ветерана боевых действий в Афганистане, ведущего Первого канала Артема Шейнина. Четвертый литературный сборник «Воля Донбасса» выпущен при поддержке Интернационального союза писателей. Также СП ЛНР в 2020 году выпустил молодежный литературный сборник «Всходы».
В декабре 2018 Бобров представил общественности сборник англоязычной антологии военной прозы о войне в Афганистане «»The Torn Souls»: an Anthology of Prose About the Soviet War in Afghanistan». В течение двух лет этот проект был реализован совместными усилиями Союза писателей ЛНР, сайта okopka.ru, Горловского института иностранных языков, доктора философских наук университета штата Виктория (Австралия) Ирины Василенко и члена Московской городской организации Союза писателей России Вадима Комкина.
«Можно смело сказать, что для современной русской военной литературы выход нашей антологии – событие историческое. Впервые в культурный оборот англоязычного литературного пространства введена столь представительная подборка «афганской» прозы. Ни в советское, ни в постсоветское время ничего подобного никогда не издавалось. Также культурную значимость этого проекта составляет сам факт выхода столь значимой для большой литературной страты книги в воюющем и осажденном Донбассе – форпосте Русского мира», — прокомментировал выход сборника Бобров.
Помимо военных и юбилейных наград, Бобров награждён «серебряной» медалью Василия Шукшина за № 78 (отчеканено всего 100 медалей). Указами главы ЛНР отмечен государственными наградами Республики — медалью «Луганцы; Верою и усердием» в 2016 году и медалью «За заслуги» II степени (номер 625) в 2018 году.
Живёт в Луганске. Женат, двое детей.
Глава комиссии по вопросам развития культуры, образования и науки Общественной палаты ЛНР.
Член Союза писателей России. Председатель Союза писателей ЛНР. Главный редактор сайта okopka.ru.